Merci d'avoir joint par avance le second fichier. Tu commences à avoir des réflexes meilleurs que les miens

Je vois que dans ton fichier /etc/grub/default tu as une ligne commentée : #GRUB_DISABLE_OS_PROBER=false
Je ne sais pas quel est l'effet d'e l'avoir commentée. Est-ce que ça considère disable par défaut, ce qui serait une façon sécurisée de voir les choses et pourrait expliquer notre difficulté en empêchant update-grub de faire son job complètement ?
En plus il semblerait que tu aies eu l'occasion de réparer qqchose côté Windows entretemps alors que ça ne se montait pas au départ. Alors en ayant bien pris soin d'arrêter Windows totalement, c'est-à-dire avec l'option fastboot désactivée (ou autre technologie exotique de ton BIOS de pointe (jaloux inside

) qui garde la main sur le disque même une fois à l'arrêt). et puisque tu arrives à monter ta partition Windows dans Linux Mint, alors tu devrais avoir un résultat avec cette commande-là :
La commande est la suivante :
Si tel est le cas et que la partition Windows bootable apparait donc bien, alors tu exécutes la ligne de commande suivante qui va te permettre d'éditer le fichier /etc/default/grub.
et tu vas retirer le "#" qui est devant la ligne "#GRUB_DISABLE_OS_PROBER=false". Ce symbole "#" fait de la ligne un simple commentaire non interprétable à l'exécution. La ligne doit donc devenir "GRUB_DISABLE_OS_PROBER=false" (sans les ""), ce qui va permettre à OS prober de fonctionner. La double négation "disable=false" est à mon sens une belle connerie, mais peu importe, c'est comme ça. Puis tu enregistres la modification sans modifier le nom, et tu refais
et tu redémarres.
Et en fait, en vérifiant tout ce que j'écris, je tombe sur çà, bien mieux expliqué que tout ce que je pourrais faire :
https://www.baeldung.com/linux/grub-boo ... add-new-os
Si tout ça a fonctionné, tu pourras remettre le fichier /etc/grub/default dans son état initial (donc remettre le "#" qu'on a enlevé) et réactiver le fastboot (ou équivalent) pour l'OS qui sait en tirer parti (uniquement Windows il me semble, Linux n'en profite pas (encore) je crois).